设f(x)=log2,F(x)=
+f(x).
(1)试判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明;
(2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明: 对任意的自然数n(n≥3),都有f-1(n)>;
(3)若F(x)的反函数F-1(x),证明: 方程F-1(x)=0有惟一解.
(1) F(x)在(-1,1)上是增函数,(2)证明略 (3)证明略
(1)由>0,且2-x≠0得F(x)的定义域为(-1,1),
设-1<x1<x2<1,则
F(x2)-F(x1)=()+(
)
,
∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.
因此F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函数.
(2)证明: 由y=f(x)=得
2y=
,
∴f-1(x)=,∵f(x)的值域为R,∴f--1(x)的定义域为R.
当n≥3时,
f-1(n)>.
用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略.
(3)证明:∵F(0)=,∴F-1(
)=0,∴x=
是F-1(x)=0的一个根.
假设F-1(x)=0还有一个解x0(x0≠),则F-1(x0)=0,于
是F(0)=x0(x0≠). 这是不可能的,故F-1(x)=0有惟一解.
科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源: 题型:044
设f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x),
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)f(x)是否存在最大值或最小值?如果存在,请把它求出来;如果不存在,请说明理由。
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科目:高中数学 来源:数学教研室 题型:044
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)f(x)是否存在最大值或最小值?如果存在,请把它求出来;如果不存在,请说明理由。
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