Question

设f(x)=log₂,F(x)=+f(x). 

(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；

(2)若f(x)的反函数为f^－1(x),证明: 对任意的自然数n(n≥3),都有f^－1(n)>;

(3)若F(x)的反函数F^－1(x),证明: 方程F^－1(x)=0有惟一解.

Answer 1

(1) F(x)在(－1，1）上是增函数，(2)证明略 (3)证明略

解析:

(1)由>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，

设－1＜x₁＜x₂＜1,则

F(x₂)－F(x₁)=()+()

,

∵x₂－x₁>0,2－x₁>0,2－x₂>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.

因此F(x₂)－F(x₁)>0,F(x₂)>F(x₁),∴F(x)在(－1，1）上是增函数. 

(2)证明： 由y=f(x)=得  2^y=,

∴f^－1(x)=,∵f(x)的值域为R，∴f^-－1(x)的定义域为R.

当n≥3时，

f^-1(n)>.

用数学归纳法易证2ⁿ>2n+1(n≥3),证略.

(3)证明:∵F(0)=,∴F^－1()=0,∴x=是F^－1(x)=0的一个根.

假设F^－1(x)=0还有一个解x₀(x₀≠),则F^-1(x₀)=0,于

是F(0)=x₀(x₀≠). 这是不可能的，故F^-1(x)=0有惟一解.