Question

12．已知函数f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．对任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式g²（x）-2mg（x）+2m+1＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得函数的最小正周期T，解得ω，可得函数的解析式．利用正弦函数的单调增区间，求得x的范围，可得函数的增区间．
（2）利用三角函数平移变换，求出函数的解析式，然后利用恒成立转化成sin²（2x-$\frac{π}{6}$）-2msin（2x-$\frac{π}{6}$）+2m+1＞0恒成立，换元法t=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．设函数g（t）=t²-2mt+2m+1，对其对称轴进行讨论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），直线x=x₁、x=x₂是y=f（x）图象的两条对称轴，
且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{4}$，
∴函数的最小正周期T=2×$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{2ω}$，解之得ω=2，故f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{5π}{24}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{24}$，
故f（x）在[0，π]上的单调递增区间为$[0，\frac{π}{24}]，[\frac{7π}{24}，\frac{13π}{24}]，[\frac{19π}{24}，π]$．
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位后，得到y=sin（4x-$\frac{π}{6}$）．再将得到的图象上各点的横坐标伸长原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．可得g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
对任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式g²（x）-2mg（x）+2m+1＞0恒成立，
即：对任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式sin²（2x-$\frac{π}{6}$）-2msin（2x-$\frac{π}{6}$）+2m+1＞0恒成立，
令t=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．
上式为：不等式t²-2mt+2m+1＞0，t∈[-$\frac{1}{2}$，1]恒成立．
设g（t）=t²-2mt+2m+1，-$\frac{1}{2}$≤t≤1，
关于t=m对称，
①当m≤-$\frac{1}{2}$时，g（t）在t∈[-$\frac{1}{2}$，1]上为增函数，
则g（t）_min=g（-$\frac{1}{2}$）=3m+$\frac{5}{4}$＞0，
得m＞-$\frac{5}{12}$，与题设不符，舍；
②当-$\frac{1}{2}$＜m＜1时，g（t）min=g（m）=-m2+2m+1＞0，
得1-$\sqrt{2}$＜m＜1+$\sqrt{2}$，
所以1-$\sqrt{2}$＜m＜1．
③当m≥1时，g（t）在t∈[-$\frac{1}{2}$，1]上为减函数，
则g（t）_min=g（1）=2＞0，成立．
综上m$＞1-\sqrt{2}$．

点评 本题重点考查了三角公式、同角三角函数基本关系式中的平方关系、二次函数等知识的综合运用，属于中档题，重点考查了分类讨论思想在解题中应用，解题关键是准确把握讨论的“类”，做到不重不漏．