Question

设函数f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)当x∈［-1,e-1］时，不等式f(x)＜m恒成立,求实数m的取值范围;

(3)关于x的方程f(x)=x²+x+a在［0,2］上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围.（e为自然常数，约等于2.718 281 828 459）

Answer 1

解:(1)函数定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),∵f′(x)=2［(x+1)］=,

由f′(x)＞0,得-2＜x＜-1或x＞0;由f′(x)＜0,得x＜-2或-1＜x＜0,

则递增区间是(-2,-1),(0,+∞),递减区间是(-∞,-2),(-1,0).

(2)由f′(x)==0,得x=0或x=-2.

由（1）知,f(x)在［-1,0］上递减,在［0,e-1］上递增.

又f(-1)=+2,f(e-1)=e²-2,且e²-2＞+2,∴x∈［-1,e-1］时,［f(x)］_max=e²-2,

故m＞e²-2时,不等式f(x)＜m恒成立.

(3)方程f(x)=x²+x+a,即x-a+1-ln(1+x)²=0.记g(x)=x-a+1-ln(1+x)²,

则g′(x)=1=.由g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,由g′(x)＜0,得-1＜x＜1.

∴g(x)在［0,1］上递减,在［1,2］上递增.

为使f(x)=x²+x+a在［0,2］上恰好有两个相异的实根,只需g(x)=0在［0,1)和(1,2］上各有一个实根,于是有解得2-2ln2＜a≤3-2ln3.