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    在平行四边形ABCD中，E是DC的中点，AE交BD于点M，|
    AB
    |=4，|
    AD
    |=2，
    AB
    、
    AD
    的夹角为
    π
    3
    ．
    （1）若
    AM
    =λ
    AC
    +μ
    BD
    ，求λ+3μ的值；
    （2）当点P在平行四边形ABCD的边BC和CD上运动时，求
    AP
    •
    AE
    的取值范围．
    考点：平面向量数量积的运算,向量加减混合运算及其几何意义
    专题：平面向量及应用
    分析：（1）如图所示，由于在平行四边形ABCD中，E是DC的中点，AE交BD于点M，可得
    AM
    =
    2
    3
    AE
    ，利用三角形法则和共线定理可得
    AE
    =
    AD
    +
    1
    2
    AB
    ，可得
    AM
    =
    2
    3
    AD
    +
    1
    3
    AB
    ．利用三角形法则可得
    AC
    ，
    BD
    ，分别用
    AD
    ，
    AB
    表示，代入
    AM
    =λ
    AC
    +μ
    BD
    ，比较即可得出．
    （2）通过建立直角坐标系，利用共线定理和及时性法则即可得出．
    解答： 解：（1）如图所示，
    ∵在平行四边形ABCD中，E是DC的中点，AE交BD于点M，
    ∴
    AM
    =
    2
    3
    AE
    ，
    又
    AE
    =
    AD
    +
    DE
    =
    AD
    +
    1
    2
    DC
    =
    AD
    +
    1
    2
    AB
    ，
    ∴
    AM
    =
    2
    3
    (
    AD
    +
    1
    2
    AB
    )    =
    2
    3
    AD
    +
    1
    3
    AB
    ．
    AC
    =
    AD
    +
    AB
    ，
    BD
    =
    AD
    -
    AB
    ，
    代入
    AM
    =λ
    AC
    +μ
    BD
    ，
    可得
    2
    3
    AD
    +
    1
    3
    AB
    =λ(
    AD
    +
    AB
    )+μ(
    AD
    -
    AB
    )    =(λ+μ)
    AD
    +(λ-μ)
    AB
    ，
    ∴
    λ+μ=
    2
    3
    λ-μ=
    1
    3
    ，解得λ=
    1
    2
    ，μ=
    1
    6
    ．
    ∴λ+3μ=
    1
    2
    +3×
    1
    6
    =1．
    （2）如图所示，建立直角坐标系．
    则A（0，0），B（4，0），C(5，
    		3
    )    ，D(1，
    		3
    )    ，E(3，
    		3
    )    ．
    ∴
    AB
    =（4，0）=
    DC
    ，
    BC
    =(1，
    		3
    )    =
    AD
    ，
    AE
    =(3，
    		3
    )    ，．
    ①当点P位于边BC上时，设
    BP
    =λ
    BC
    （0≤λ≤1）．
    则
    AP
    =
    AB
    +
    BP
    =
    AB
    +λ
    BC
    =（4，0）+λ(1，
    		3
    )    =(4+λ，
    		3
    λ)    ．
    ∴
    AP
    •
    AE
    =(4+λ，
    		3
    λ)•(3，
    		3
    )
    =3（4+λ）+3λ
    =6λ+12，
    ∵0≤λ≤1，∴12≤6λ+12≤18．
    ∴
    AP
    •
    AE
    的取值范围是[12，18]．
    ②当点P位于边CD上时，设
    DP
    =μ
    DC
    （0≤μ≤1）．
    ∴
    AP
    =
    AD
    +
    DP
    =
    AD
    +μ
    DC
    =(1，
    		3
    )+μ(4，0)    =(1+4μ，
    		3
    )    ．
    ∴
    AP
    •
    AE
    =(1+4μ，
    		3
    )•(3，
    		3
    )    =3（1+4μ）+3=12μ+6．
    ∵0≤μ≤1，∴6≤12μ+6≤18．
    ∴
    AP
    •
    AE
    的取值范围是[6，18]．
    综上①②可知：
    AP
    •
    AE
    的取值范围是[6，18]．
    点评：本题考查了向量的三角形法则、共线定理、线性运算、一次函数的单调性、数量积等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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    		2
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