Question

16．已知P-ABC为正三棱锥，底面边长为2，设D为PB的中点，且AD⊥PC，如图所示
（1）求证：PC⊥平面PAB；
（2）求二面角D-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以AB中点O为原点，OC为x轴，OA为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PC⊥平面PAB．
（2）求出平面ACD的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-B的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）以AB中点O为原点，OC为x轴，OA为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，1，0），B（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），由于点P在△ABC中的射影为△ABC的中心，
设P（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，h），故$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0，-h），$\overrightarrow{AB}$=（0，-2，0），
$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}×0+0×（-2）+（-h）×0=0$，
∴PC⊥AB，而PC⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PC⊥平面PAB．
（2）由中点公式知D（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{h}{2}$），
由$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{PC}$，知：$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{PC}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}{h}^{2}$=0，解得h=$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
设平面ACD的法向量为$\overrightarrow{a}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{a}=\frac{\sqrt{3}}{6}x-\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{6}}{6}z=0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{a}=\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，解得$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{6}，8$），
平面ABC的法向量为$\overrightarrow{b}$=（0，0，1），
设所求二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{8}{\sqrt{72}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴二面角D-AC-B的平面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．