Question

11．已知方程lnx-kx=0有两个不相等的实数根，则实数k取值范围为（　　）

• A． （-∞，e^-1）
• B． （0，e^-1）
• C． （e，+∞）
• D． （0，e）

Answer 1

分析 令lnx=kx得lnx=kx，分别做出y=lnx和y=kx的函数图象，求出y=lnx的过原点的切线的斜率，利用图象得出实数k的范围．

解答 解：令lnx-kx=0得lnx=kx，
做出y=lnx和y=kx的函数图象，

设y=k₁x与y=lnx相切，切点为（x₀，y₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={k}_{1}{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}={k}_{1}}\end{array}\right.$，解得k₁=$\frac{1}{e}$，x₀=e，y₀=1．
∵方程lnx-kx=0有两个不相等的实数根，
∴y=lnx和y=kx的函数图象有两个交点，
∴0＜k$＜\frac{1}{e}$．
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点个数与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．