Question

3．若函数f（x）=sin（2x+φ）满足对一切x∈R，都有f（x）≥f（$\frac{π}{6}$）成立，则下列关系式中不成立的是（　　）

• A． f（-$\frac{π}{12}$）=0
• B． f（$\frac{π}{12}$）+f（$\frac{3π}{4}$）=0
• C． f（$\frac{π}{12}$）＜f（$\frac{2π}{3}$）
• D． f（0）＞f（-$\frac{5π}{12}$）

Answer 1

分析 由题意可得，当x=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值，由此求得φ的值，可得函数的解析式，再利用诱导公式、特殊角的三角函数的值，判断各个选项中的不等式是否正确，从而得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）满足对一切x∈R，都有f（x）≥f（$\frac{π}{6}$）成立，
∴当x=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值，即2•$\frac{π}{6}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即φ=2kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
故可取φ=-$\frac{5π}{6}$，此时，k=0，为整数，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{5π}{6}$）．
∴f（-$\frac{π}{12}$）=sin（-π）=-sinπ=0，故A成立；
∵f（$\frac{π}{12}$）=sin（-$\frac{2π}{3}$）=-sin$\frac{2π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{3π}{4}$）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴f（$\frac{π}{12}$）+f（$\frac{3π}{4}$）=0，故B成立；
又 f（$\frac{2π}{3}$）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴f（$\frac{π}{12}$）＜f（$\frac{2π}{3}$），故C成立；
f（0）=sin（-$\frac{5π}{6}$）=-sin$\frac{5π}{6}$=-$\frac{1}{2}$，f（-$\frac{5π}{12}$）=sin0=0，故f（0）＞f（-$\frac{5π}{12}$）不成立，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的最小值，特殊角的三角函数的值，诱导公式，属于基础题．