Question

18．已知ab=1（a，b＞0），则$\frac{1}{a+1}$+$\frac{9}{b+9}$的最大值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 先化简代数式，再利用基本不等式求出$\frac{1}{a+1}$+$\frac{9}{b+9}$的最大值．

解答 解：∵ab=1（a，b＞0），
∴$\frac{1}{a+1}$+$\frac{9}{b+9}$=$\frac{9a+b+18}{9a+b+10}$=1+$\frac{8}{9a+b+10}$，
∴9a+b≥2$\sqrt{9ab}$=6（a=b时取等号），
∴$\frac{8}{9a+b+10}$≤$\frac{1}{2}$，
∴1+$\frac{8}{9a+b+10}$≤$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{a+1}$+$\frac{9}{b+9}$的最大值是$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查代数式的化简，正确化简，利用基本不等式是关键．