Question

15．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{alnx-{x}^{2}-2（x＞0）}\\{x+\frac{1}{x}+a（x＜0）}\end{array}$的最大值为f（-1），则实数a的取值范围（　　）

• A． [0，2e²]
• B． [0，2e³]
• C． （0，2e²]
• D． （0，2e³]

Answer 1

分析 求得f（-1），由题意可得alnx-x²-2≤-2+a在x＞0恒成立，讨论x的范围，分x=e，0＜x＜e，x＞e，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调区间，可得最值，进而得到a的范围．

解答 解：由f（-1）=-2+a，可得alnx-x²-2≤-2+a在x＞0恒成立，
即为a（1-lnx）≥-x²，
当x=e时，0＞-e²显然成立；
当0＜x＜e时，有1-lnx＞0，可得a≥$\frac{{x}^{2}}{lnx-1}$，
设g（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx-1}$，0＜x＜e，
g′（x）=$\frac{2x（lnx-1）-x}{（lnx-1）^{2}}$=$\frac{x（2lnx-3）}{（lnx-1）^{2}}$，
由0＜x＜e时，2lnx＜2＜3，则g′（x）＜0，g（x）在（0，e）递减，
且g（x）＜0，
可得a≥0；
当x＞e时，有1-lnx＜0，可得a≤$\frac{{x}^{2}}{lnx-1}$，
设g（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx-1}$，x＞e，
g′（x）=$\frac{2x（lnx-1）-x}{（lnx-1）^{2}}$=$\frac{x（2lnx-3）}{（lnx-1）^{2}}$，
由e＜x＜e${\;}^{\frac{3}{2}}$时，g′（x）＜0，g（x）在（e，e${\;}^{\frac{3}{2}}$）递减，
由x＞e${\;}^{\frac{3}{2}}$时，g′（x）＞0，g（x）在（e${\;}^{\frac{3}{2}}$，+∞）递增，
即有g（x）在x=e${\;}^{\frac{3}{2}}$处取得极小值，且为最小值2e³，
可得a≤2e³，
综上可得0≤a≤2e³．
故选：B．

点评 本题考查函数的最值的求法和应用，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，求出导数和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．