Question

20．己知P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别为左、右两个焦点，∠F₁PF₂=60°，S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=12$\sqrt{3}$，则b=6．

Answer 1

分析 根据椭圆的定义，可以设|PF₁|=m，|PF₂|=n，在△PF₁F₂中，根据余弦定理，结合${S}_{{{△F}_{1}PF}_{2}}$=$\frac{1}{2}$mn•sin60°，列出方程即可求出b的值．

解答 解：根据椭圆的定义，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则
在△PF₁F₂中，根据余弦定理得，
cos60°=$\frac{{m}^{2}{+n}^{2}-{4c}^{2}}{2mn}$=$\frac{{（m+n）}^{2}-{4c}^{2}-2mn}{2mn}$
即$\frac{1}{2}$=$\frac{{4a}^{2}-{4c}^{2}-2mn}{2mn}$，
所以3mn=4a²-4c²=4b²；
又${S}_{△{{PF}_{1}F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$mn•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$mn=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{4}{3}$b²
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²=12$\sqrt{3}$，
解得b²=36，
所以b=6．
故答案为：6．

点评 本题重点考查了椭圆的定义与性质的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．