Question

【题目】如图1，在路边安装路灯，路宽为OD，灯柱OB长为h米，灯杆AB长为1米，且灯杆与灯柱成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为2θ，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直．
（1）设灯罩轴线与路面的交点为C，若OC=5 米，求灯柱OB长；
（2）设h=10米，若灯罩轴截面的两条母线所在直线一条恰好经过点O，另一条与地面的交点为E（如图2）；
（i）求cosθ的值；
（ii）求该路灯照在路面上的宽度OE的长；

Answer 1

【答案】
（1）解：过A作AE⊥OD，垂足为E，过B作BF⊥AE，垂足为F，

则∠ABF=120°﹣90°=30°，

∴AF= AB= ，BF= AB= ，

∴OE=BF= ，

∴CE=OC﹣OE= ．

在四边形ABOC中，∵∠BOC=∠BAC=90°，∠ABO=120°，

∴∠ACO=60°，

在Rt△ACE中，tan∠ACE= = ，

∴AE= CE= ，

∴OB=EF=AE﹣AF=13．

即灯柱OB高13米．

（2）解：（i）在△ABO中，由余弦定理得OA= = ，

由正弦定理得 = ，∴sin∠BAO= = ．

∴cosθ=sin∠BAO= ．

（ii）sinθ= = ，sin2θ=2sinθcosθ= ，

∴sin∠AEO=sin（60°﹣θ）= ﹣ = ．

在△AOE中，由正弦定理得 = ，

解得OE= = ．

【解析】（1）作AE⊥OD，BF⊥AE，求出AF，BF，得出CE的长，根据tan∠ACE= 求出AE，从而得出OB的长；（2）（i）在△AOB中，利用正弦定理求出sin∠BAO即可得出cosθ；（ii）利用差角公式计算sin∠AEO，在△AOE中，利用正弦定理计算OE．