Question

一个四棱锥的三视图如图所示，E为侧棱PC上一动点．
（I）画出该四棱锥的直观图，并求它的侧面积
（II）取PC中点E，求证：PA∥面EBD．

Answer 1

分析：（1）根据三视图分析，可得该四棱锥是底面由两个全等正三角形拼成的菱形，顶点P在底面的射影是菱形的中心O，由此不难得出该四棱锥的直观图．利用线面垂直的性质和勾股定理，算出PA=AB=2且PB=

2

，结合正余弦定理可算出△PAB的面积，进而可得该四棱锥的侧面积．
（2）连接OE，可得OE是△PAC的中位线，得OE∥PA，由线面平行的判定定理，可得出PA∥面EBD．

解答：解：（1）由俯视图可该四棱锥的底面是边长为2且锐角为60°的菱形，由正视图和侧视图，
可得该四棱锥的高恰好是顶点P与底面中心O的连线，且高长等于1
由此可得，它的直观图如下，

∵△PAB中，PA=

PO2+OA2

=2，PB=

PO2+BO2

=

2

∴cos∠PAB=

22+22-( 2 )2

2×2×2

=

3

4

，得sin∠PAB=

1-( 3 4 )2

=

7

4

由正弦定理，得S_△PAB=

1

2

×PA×ABsin∠PAB=

7

2

同理可得：S_△PBC=S_△PCD=S_△PAD=

7

2

∴该四棱锥的侧面积为S=

7

2

×4=2

7

（2）设O为AC、BD的交点，即为底面菱形ABCD的中心，连接OE
∵△PAC中，O、E分别为AC、PC的中点
∴OE∥PA
∵OE?平面EBD，PA?平面EBD
∴PA∥面EBD．

点评：本题给出四棱锥的三视图，求它的直观图并求侧面积，证明了直线与平面平行，着重考查了线面平行的判定定理、三视图的理解和利用正余弦定理求三角表面积等知识，属于中档题．