Question

10．设实数x，y满足$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$，则3x²-2xy的最小值是（　　）

• A． $6-4\sqrt{2}$
• B． $6+4\sqrt{2}$
• C． $4+6\sqrt{2}$
• D． $4-6\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，再由基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$，可设x=2secα，y=tanα，
则3x²-2xy=12sec²α-4secαtanα=$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$，
其中-1＜sinα＜1，
[（1-sinα）+（1+sinα）]（$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$）
=12+$\frac{4（1+sinα）}{1-sinα}$+$\frac{8（1-sinα）}{1+sinα}$
≥12+8$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{4（1+sinα）}{1-sinα}$=$\frac{8（1-sinα）}{1+sinα}$，
解得sinα=3-2$\sqrt{2}$（3+2$\sqrt{2}$舍去），取得最小值．
则3x²-2xy的最小值是6+4$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查最值的求法，注意运用双曲线的参数方程，考查三角函数的化简，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．