Question

已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x₁，x₂(x₁<x₂)，则(　　)

A．f(x₁)>0，f(x₂)>－                                 B．f(x₁)<0，f(x₂)<－

C．f(x₁)>0，f(x₂)<－                                 D．f(x₁)<0，f(x₂)>－

Answer 1

　D

[解析]　由题意知，函数f(x)＝x(lnx－ax)＝xlnx－ax²有两个极值点，

即f ′(x)＝lnx＋1－2ax＝0在区间(0，＋∞)上有两个根．

令h(x)＝lnx＋1－2ax，则h′(x)＝－2a＝，当a≤0时h′(x)>0，h(x)在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x)＝0不可能有两个正根，

∴a>0.由h′(x)＝0，可得x＝，从而可知h(x)在区间(0，)上递增，在区间(，＋∞)上递减．因此需h()＝ln＋1－1＝ln>0，即>1时满足条件，故当0<a<时，h(x)＝0有两个根x₁，x₂，且x₁<<x₂.

又h(1)＝1－2a>0，∴x₁<1<<x₂，从而可知函数f(x)在区间(0，x₁)上递减，在区间(x₁，x₂)上递增，在区间(x₂，＋∞)上递减．

∴f(x₁)<f(1)＝－a<0，f(x₂)>f(1)＝－a>－.故选D.