Question

已知函数f（x）=1+x-

1

2

x2+

1

3

x3-

1

4

x4+…+

1

2015

x2015，g（x）=1-x+

1

2

x2-

1

3

x3+

1

4

x4-…-

1

2015

x2015．设F（x）=f（x-4）•g（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，圆x²+y²=b-a的面积的最小值是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,圆的标准方程

专题：函数的性质及应用

分析：用零点存在性定理，得f（x）在R上有唯一零点x₁∈（-1，0），g（x）在R上有唯一零点x₂∈（1，2），结合函数图象的平移知识可得F（x）的零点所在的区间，由此不难得到b-a的最小值．

解答： 解：∵f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

+

1

2015

x2015，
∴f（0）=1＞0，f（-1）=-

1

2

-

1

3

-…-

1

2013

-

1

2015

＜0，
∵函数f（x）有唯一零点x₁，
∴根据根的存在性定理可知x₁∈（-1，0）．
∵g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…+

x2012

2012

-

x2013

2013

-

1

2015

x2015，
∴g（1）=

1

2

-

1

3

+

1

4

-…+

1

2012

-

1

2013

＞0，
g（2）=1-2+

22

2

-

23

3

+…+

22014

2014

-

22015

2015

＜0，
∵函数g（x）有唯一零点x₂，
∴根据根的存在性定理可知x₂∈（1，2）．
由F（x）=g（x+3）f（x-4）=0，
则g（x+3）=0或f（x-4）=0．
由x-4∈（-1，0）．得-1＜x-4＜0，
即3＜x＜4，
∴函数f（x-4）的零点在（3，4）．
由x+3∈（1，2）．，
得1＜x+3＜2，即-2＜x＜-1，
∴函数g（x+3）的零点在（-2，-1）．
即函数F（x）=f（x-4）•g（x+3）的零点在（3，4）和（-2，-1）内，
∵F（x）的零点均在区间[a，b]，（a＜b，a，b∈Z），
∴b≥4，a≤-2，
∴b-a≥6，
即b-a的最小值是6．
即x²+y²=b-a的面积的最小值为x²+y²=6的面积的最小值π×(

6

)2=6π
故答案为：6π

点评：本题给出关于x的多项式函数，求函数零点所在的区间长度的最小值．着重考查了函数的零点．综合性较强，难度较大．