【题目】如图,多面体中,面
为矩形,
,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求与
所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
试题分析:(1)要证平面
,只需证明直线
垂直平面
内的两条相交直线
、
即可;(2)要求
与
所成的角,即求
与
所成的角,解三角形可求
与
所成角的余弦值;(3)过
作
于
又过
作
于
,连接
,说明
为二面角
的平面角,解三角形可求二面角
的余弦值.
试题解析:(1)∵是矩形,∴
又,则
, ∴
平面
(2)矩形,∴
,即
,
∴要求与
所成的角,即求
与
所成的角.
在中,由(1)知
面
,
∴中,
,
∴是
在面
内的射影,且
,
∴,
,
从而与
的成的角的余弦为
;
(3)∵中
,且
,
∴面
,
∴面面
,
为面
与面
的交线,
∴过作
于
,∴
面
,
又过作
于
,连接
,从而得:
,
∴为二面角
的平面角.
在矩形中,对角线
,
∴在中,
,
由(2)知在中,
,
而中,
,且
,∴
,
∴为等腰直角三角形且
为直角,
∴,
∴,
所以所求的二面角的余弦为.
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【题目】(本小题满分13分)已知椭圆C的中心在坐标原点,离心率,且其中一个焦点与抛物线
的焦点重合.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点
的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T,若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知三个班共有学生100人,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获取了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时).
| 6 | 7 | ||
| 6 | 7 | 8 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
(1)试估计班学生人数;
(2)从班和
班抽出来的学生中各选一名,记
班选出的学生为甲,
班选出的学生为乙,求甲的锻炼时间大于乙的锻炼时间的概率.
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【题目】某校高一(1)班有男同学45名,女同学15名,老师按照分层抽样的方法抽取4人组建了一个课外兴趣小组.
(I)求课外兴趣小组中男、女同学的人数;
(II)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是从小组里选出一名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选出一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;
(III)在(II)的条件下,第一次做实验的同学A得到的实验数据为38,40,41,42,44,第二次做实验的同学B得到的实验数据为39,40,40,42,44,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由.
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【题目】有两个不透明的箱子,每个箱子都装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4.
(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子摸出一个球,谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率;
(2)摸球方法与(1)同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不相同则乙获胜,这样规定公平吗?请说明理由。
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【题目】已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2) 令g(x)=(2-2m)x-f(x).
① 若函数g(x)在x∈[0,2]上是单调函数,求实数m的取值范围;
② 求函数g(x)在x∈[0,2]上的最小值.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,短轴两个端点为
,且四边形
是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若分别是椭圆长轴的左、右端点,动点
满足
,连结
,交椭圆于点
,证明:
为定值;
(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点
的定点
,使得以
为直径的圆恒过直线
的交点,若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c=(-1,0).
(1) 求向量b+c的模的最大值;
(2) 若α=,且a⊥(b+c),求cos β的值.
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【题目】传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏,将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中抽取了100名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
(1)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?
(2)若参赛选手共6万人,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;
(3)在优秀等级的选手中取6名,依次编号为1,2,3,4,5,6,在良好等级的选手中取6名,依次编号为1,2,3,4,5,6,在选出的6名优秀等级的选手中任取一名,记其编号为,在选出的6名良好等级的选手中任取一名,记其编号为
,求使得方程组
有唯一一组实数解
的概率.
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