Question

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足y_n·a=2(a＞0且a≠1)，y₄=17，y₇=11．

(Ⅰ)试问：数列{y_n}的前多少项的和最大?最大值是多少?

(Ⅱ)设b_n=，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求S_n；

(Ⅲ)试判断，是否存在正整数M，使当n＞M时，x_n＞1恒成立，若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)设x_n=x₁q^n-1(x₁＞0且x₁≠1,q＞0)

由y_n==2log_ax_n

得y_n+1-y_n=2log_ax_n+1-2log_ax_n=2log_a=2log_aq(常数)

∴数列{y_n}是等差数列 

由y₄=17，y₇=11得y_n=25-2n

令        得≤n＜     ∵n∈N^*， ∴n=12

∴数列{y_n}前12项和最大

现T_n为数列{y_n}的前n项和，则T₁₂==144

(Ⅱ)由(Ⅰ)知b_n=2^25-2n   ∴b₁=2²³，

∴{b_n}是以2²³为首项，以为公比的等比数列 ∴S_n= b₁+b₂+…+b_n=[1-()ⁿ]

(Ⅲ)由y_n=2log_ax_n得x_n=

由(Ⅰ)知，当n＞12时y_n＜0恒成立

1°当0＜a＜1且n＞12时，有x_n=＞a°=1

2°当a＞1且n＞12时，有x_n＜1

故当0＜a＜1时存在M=12使得当n＞M时，x_n＞1恒成立

当a＞1时不存在M，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立.