Question

(本小题满分10分)已知等差数列{a_n}的首项a₁＝1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设＝（n∈N^*），＝b₁＋b₂＋…＋b_n，是否存在最大的整数t，使得任意的n均有总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得（a₁＋d）（a₁＋13d）=（a₁＋4d）²， ……………… 2 分
整理得2a₁d＝d²．
∵a₁＝1，解得（d＝0舍），d＝2． ………………………………………… 4 分
∴a_n＝2n－1（n∈N^*）．  …………………………………………………… 5 分
（Ⅱ）b_n＝＝＝（－），
∴S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝［（1－）＋（－）＋…＋（－）］
＝（1－）＝．  …………………………………… 8 分
假设存在整数t满足S_n＞总成立.
又S_n+1－S_n＝－＝＞0，
∴数列{S_n}是单调递增的．  
∴S₁＝为S_n的最小值，故＜，即t＜9．
∵t∈N^*，
∴适合条件的t的最大值为8．  ……………………………… 10分

略