Question

如图，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA₁＝，
D是A₁B₁中点．
（1）求证C₁D⊥平面A₁B；
（2）当点F在BB₁上什么位置时，会使得AB₁⊥平面C₁DF？并证明你的结论．

Answer 1

(1)同解析，（2）作DE⊥AB₁交AB₁于E，延长DE交BB₁于F，连结C₁F，则AB₁⊥平面C₁DF，点F即为所求

（1）如图，∵ ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴ A₁C₁＝B₁C₁＝1，且∠A₁C₁B₁＝90°．
又 D是A₁B₁的中点，∴ C₁D⊥A₁B₁．
∵ AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁D平面A₁B₁C₁，
∴ AA₁⊥C₁D，∴ C₁D⊥平面AA₁B₁B．
（2）作DE⊥AB₁交AB₁于E，延长DE交BB₁于F，连结C₁F，则AB₁⊥平面C₁DF，点F即为所求．
事实上，∵ C₁D⊥平面AA₁BB，AB₁平面AA₁B₁B，
∴ C₁D⊥AB₁．又AB₁⊥DF，DFC₁D＝D，
∴ AB₁⊥平面C₁DF．