Question

侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中
BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（2）（3）存在点Q满足题意，此时

（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD,

平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.  ……3分
(Ⅱ)解  以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得
A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以       …5分
所以异面直线PB与CD所成的角是余弦值为，    ………………7分
(Ⅲ)解  假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，
由(Ⅱ)知设平面PCD的法向量为n=(x₀,y₀,z₀).
则所以即，
取x₀=1,得平面PCD的一个法向量为n="(1,1,1)."      …………………9分
设由，得解y=-或y=(舍去)，                        …………………11分
此时，所以存在点Q满足题意，此时。…12分