Question

【题目】设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|，ab＞0.

（1）当a＝1，b＝1时，求不等式f（x）＜3的解集；

（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）{x|}（2）

【解析】

（1）原不等式等价于|x﹣1|+|x+1|＜3，然后对x分类去绝对值，化为关于x的一元一次不等式求解，取并集得答案；

（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|b+a|，当且仅当（x﹣a）（x+b）≤0时等号成立.可得f（x）的最小值为|b+a|＝2.结合ab＞0，得|b+a|＝|a|+|b|＝2，则，展开后利用基本不等式求最值.

（1）原不等式等价于|x﹣1|+|x+1|＜3，

当x≥1时，可得x﹣1+x+1＜3，解得1≤x；

当﹣1＜x＜1时，可得﹣x+1+x+1＜3，得2＜3成立；

当x≤﹣1时，可得﹣x+1﹣x﹣1＜3，解得x≤﹣1.

综上所述，原不等式的解集为{x|}；

（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|b+a|，当且仅当（x﹣a）（x+b）≤0时等号成立.

∴f（x）的最小值为|b+a|，即|b+a|＝2.

又∵ab＞0，∴|b+a|＝|a|+|b|＝2，

∴

.

当且仅当时，等号成立，

∴的最小值为.