Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＝1，a₂＝6，a₃＝11，且(5n－8)S_n+1－(5n＋2)S_n＝An＋B，n＝1，2，3，…，其中A、B为常数．

(1)求A与B的值；

(2)证明：数列{a_n}为等差数列；

(3)证明：不等式＞1对任何正整数m、n都成立．

Answer 1

答案：
解析：

解得A＝－20，B＝－8． 　　(2)证法1：由(1)得(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝－20n－8，① 　　∴(5n－3)Sn+2－(5n＋7)Sn+1＝－20n－28．② 　　②－①得(5n－3)Sn+2－(10n－1)Sn+1＋(5n＋2)Sn＝－20，③ 　　∴(5n＋2)Sn+3－(10n＋9)Sn+2＋(5n＋7)Sn+1＝－20．④ 　　④－③得(5n＋2)Sn+3－(15n＋6)Sn+2＋(15n＋6)·Sn+1－(5n＋2)Sn＝0． 　　∵an+1＝Sn+1－Sn， 　　∴(5n＋2)an+3－(10n＋4)an+2＋(5n＋2)an+1＝0． 　　又∵5n＋2≠0， 　　∴an+3－2an+2＋an+1＝0， 　　即an+3－an+2＝an+2－an+1，n≥1． 　　又a3－a2＝a2－a1＝5， 　　∴数列{an}为等差数列． 　　证法2：由已知，S1＝a1＝1， 　　又(5n－8)Sn+1－(5n＋2)Sn＝－20n－8，且5n－8≠0． 　　∴数列{Sn}是唯一确定的，因而数列{an}是唯一确定的．设bn＝5n－4，

提示：

主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力和运算能力．