Question

6．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对于任意的m，n∈R⁺，都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的单调性，并证明；
（2）若f（6）=-1，解不等式f（x+3）＜-2-f（x）；
（3）比较f（$\frac{m+n}{2}$）与$\frac{1}{2}$[f（m）+f（n）]的大小（其中m，n＞0，m≠n）．

Answer 1

分析 （1）利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．
（2）利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．
（3）根据抽象函数的关系将函数值进行转化，利用函数单调性的性质，借助作差法进行基本大小即可．

解答 解：（1）∵对于任意的m，n∈R⁺，都有f（mn）=f（m）+f（n），
证明：设x₁，x₂是（0，+∞）任意两个变量，且x₁＜x₂，
设x₂=tx₁，（t＞1），
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（tx₁）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）=-f（t）
∵当x＞1时，f（x）＜0；
∴f（t）＜0，即f（x₁）-f（x₂）=-f（t）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），即y=f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
（2）∵f（6）=-1，∴令m=6，n=6，则f（6×6）=f（6）+f（6），
即f（36）=2f（6）=-2，
∴不等式f（x+3）＜-2-f（x）等价为f（x+3）+f（x）＜f（36）；
即f（x（x+3））＜f（36），
∵函数在（0，+∞）上的单调递减．
∴-36$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x+3＞0}\\{{x}^{2}+3x-36＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞-3}\\{x＞\frac{-3+3\sqrt{17}}{2}或x＜\frac{-3-3\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$
得x＞$\frac{-3+3\sqrt{17}}{2}$，
即不等式的解集为{x|x＞$\frac{-3+3\sqrt{17}}{2}$}．
（3）$\frac{1}{2}$[f（m）+f（n）]=$\frac{1}{2}$f（mn），
比较f（$\frac{m+n}{2}$）与$\frac{1}{2}$[f（m）+f（n）]的大小，等价为比较2f（$\frac{m+n}{2}$）与[f（m）+f（n）]=f（mn）的大小，
∵2f（$\frac{m+n}{2}$）=f[（$\frac{m+n}{2}$）²]，m≠n，
∴由（$\frac{m+n}{2}$）²-mn=$\frac{{m}^{2}+2mn+{n}^{2}}{4}$-mn=$\frac{{m}^{2}-2mn+{n}^{2}}{4}$=（$\frac{m-n}{2}$）²＞0，
得（$\frac{m+n}{2}$）²＞mn，
∵y=f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
∴f[（$\frac{m+n}{2}$）²]＜f（mn），即2f（$\frac{m+n}{2}$）＜[f（m）+f（n）]，
则f（$\frac{m+n}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（m）+f（n）]．

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及利用抽象函数的关系解不等式，根据条件进行转化是解决本题的关键．综合考查函数的性质．