Question

已知a＞0，b＞0且a+b=1．
求证：（1）

1

a

+

1

b

≥4；
（2）

a+ 1 2

+

b+ 1 2

≤2．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）（

1

a

+

1

b

）（a+b）利用均值不等式证明．（2）平方转化证明即可．

解答： 证明：（1）∵a＞0，b＞0且a+b=1，
∴

1

a

+

1

b

=（

a+b

a

+

a+b

b

）=2+

a

b

+

b

a

≥2+2=4．
∴

1

a

+

1

b

≥4；
（2）要证

a+ 1 2

+

b+ 1 2

≤2．
只需a+b+1-2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，
即-2

ab+ 3 4

≤1，显然成立，
∴原不等证

a+ 1 2

+

b+ 1 2

≤2成立．

点评：本题考查了利用均值不等式法证明不等式，平方转化证明，属于容易题．