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【题目】已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=﹣2.
(1)判断f(x)的奇偶性及单调性并证明你的结论;
(2)若对任意x∈R,不等式f(ax2)﹣2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围.

【答案】
(1)解:取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0.

取y=﹣x,则f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x),

∴f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R恒成立,∴f(x)为奇函数.

任取x1,x2∈(﹣∞,+∞),且x1<x2,则x2﹣x1>0,f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)<0,

∴f(x2)<﹣f(﹣x1),又f(x)为奇函数,

∴f(x1)>f(x2).

∴f(x)是R上的减函数


(2)解:f(x)为奇函数,整理原式得f(ax2)+f(﹣2x)<f(x)+f(﹣2),

则f(ax2﹣2x)<f(x﹣2),

∵f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数,∴ax2﹣2x>x﹣2,

当a=0时,﹣2x>x﹣2在R上不是恒成立,与题意矛盾;

当a>0时,ax2﹣2x﹣x+2>0,要使不等式恒成立,则△=9﹣8a<0,即a>

当a<0时,ax2﹣3x+2>0在R上不是恒成立,不合题意.

综上所述,a的取值范围为( ,+∞)


【解析】(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),可得f(0)=0.取y=﹣x,则f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x),即可判断出奇偶性.任取x1 , x2∈(﹣∞,+∞),且x1<x2 , 可得x2﹣x1>0,f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)<0,化简即可得出单调性.(2)利用函数的奇偶性与单调性、不等式的解法即可得出.

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