Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=﹣1处取得极值，且在点（1，f（1））处的切线的斜率为2． （Ⅰ）求a，b的值：
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0在[ ，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=﹣1处取得极值， ∴f'（﹣1）=3a﹣2b+2=0
又∵在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．
f'（1）=3a+2b+2=2
解得a=﹣ ，b=
0在（1，2）内有根．（
（II）由（I）得方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0可化为：

令g（x）=
则g'（x）=2x2﹣3x+1
∵当x∈[ ，1]时，g'（x）≤0，当x∈[1，2]时，g'（x）≥0，
故g（x）= 在[ ，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
若关于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0在[ ，2]上恰有两个不相等的实数根，
则
解得：
【解析】（I）根据已知中函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=﹣1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．我们易得f'（﹣1）=0，f'（1）=2，由此构造关于a，b的方程，解方程即可得到答案．（II）根据（I）的结论我们易化简关于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0，构造函数g（x）= 分析函数的单调性后，我们可将关于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0在[ ，2]上恰有两个不相等的实数根，转化为不等式问题，解关于m的不等式组，即可求出实数m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值的理解，了解极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．