【题目】定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+1)=f(x﹣1),且f(x)在[﹣3,﹣2]上是增函数,又α、β是锐角三角形的两个内角,则( )
A.f(sinα)>f(cosβ)
B.f(cosα)<f(cosβ)
C.f(sinα)<f(cosβ)
D.f(sinα)<f(sinβ)
【答案】A
【解析】解:在R上的偶函数f(x),满足f(x+1)=f(x﹣1),故f(x+2)=f(x),故函数f(x)的周期为2. ∵f(﹣x)=f(x),f(x)在[﹣3,﹣2]上是减函数,
根据偶函数的对称性可知函数f(x)在[2,3]上是增函数,
根据函数的周期可知,函数f(x)在[0,1]上是增函数,
∵α,β是锐角三角形的两个内角,∴α+β> , >α> ﹣β>0,
∴1≥sinα>sin( ﹣β)=cosβ≥0,∴f(sinα)>f(cosβ),
故选:A.
由条件得到f(x)是周期为2的周期函数,由f(x)是定义在R上的偶函数,在[﹣3,﹣2]上是减函数,根据偶函数的对称性可知f(x)在[2,3]上单调递增,进而得到函数f(x)在[0,1]上单调增,再由α,β是锐角三角形的两个内角,得 >α> ﹣β>0,且sinα、cosβ都在区间[0,1]上,从而可求.
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【题目】在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1 , 外接圆面积为S2 , 则 ,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1 , 外接球体积为V2 , 则 = .
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【题目】已知f(x)=a(x-lnx)+,a∈R.
(I)讨论f(x)的单调性;
(II)当a=1时,证明f(x)>f’(x)+对于任意的x∈[1,2] 恒成立。
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【题目】已知函数f(x)=ax3+bx2+2x在x=﹣1处取得极值,且在点(1,f(1))处的切线的斜率为2. (Ⅰ)求a,b的值:
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+x3﹣2x2﹣x+m=0在[ ,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
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【题目】某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组抽出的号码为28,则第8组抽出的号码应是a;若用分层抽样方法,则50岁以下年龄段应抽取b人,那么a+b等于( )
A.46
B.45
C.70
D.69
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【题目】甲、乙两家商场对同一种商品展开促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:
甲商场:顾客转动如图所示转盘,当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为,边界忽略不计)即为中奖.
乙商场:从装有4个白球,4个红球和4个篮球的盒子中一次性摸出3球(这些球初颜色外完全相同),如果摸到的是3个不同颜色的球,即为中奖.
(Ⅰ)试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?说明理由;
(Ⅱ)记在乙商场购买该商品的顾客摸到篮球的个数为,求的分布列及数学期望.
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【题目】已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x)=f(y)+f(x﹣y),当x>0时,f(x)<0,且f(2)=﹣3.
(1)求f(0),并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)证明:函数f(x)在R上的单调递减;
(3)若不等式f(2x﹣3)﹣f(﹣22x)<f(k2x)+6在区间(﹣2,2)内恒成立,求实数k的取值范围.
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