Question

【题目】已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x）=f（y）+f（x﹣y），当x＞0时，f（x）＜0，且f（2）=﹣3．
（1）求f（0），并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）在R上的单调递减；
（3）若不等式f（2x﹣3）﹣f（﹣22x）＜f（k2x）+6在区间（﹣2，2）内恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，可得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0

令x=0，可得f（0）=f（y）+f（﹣y），即f（﹣y）=﹣f（y）

故f（x）为奇函数

（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

则f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）

∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0

∴f（x2）﹣f（x1）＜0，f（x2）＜f（x1），

故函数f（x）在R上为减函数

（3）解：∵f（2）=﹣3，

∴f（4）=f（2）+f（2）=﹣6，

∵不等式f（2x﹣3）﹣f（﹣22x）＜f（k2x）+6在区间（﹣2，2）内恒成立

∴f（2x﹣3+22x）＜f（k2x﹣4）在区间（﹣2，2）内恒成立．

∵函数f（x）在R上为减函数，

∴2x﹣3+22x＞k2x﹣4在区间（﹣2，2）内恒成立

∴k＜2x+2﹣x+1在区间（﹣2，2）内恒成立，

∵x∈（﹣2，2），∴2x+2﹣x∈[2， ），

∴k＜2

【解析】（1）分别取x=y=0，和x=0可得f（0）=0，进而可得f（﹣y）=﹣f（y），可判f（x）为奇函数；（2）任取x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ， 可得f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），结合已知可判f（x2）﹣f（x1）＜0，可得单调性；（3）由已知式子可得f（4）=﹣6，不等式f（2x﹣3）﹣f（﹣22x）＜f（k2x）+6在区间（﹣2，2）内恒成立转化为k＜2x+2﹣x+1在区间（﹣2，2）内恒成立，即可求实数k的取值范围．．