【题目】在平面直角坐标系xOy中,点P是圆x2+y2=4上一动点,PD⊥x轴于点D,记满足 =
(
+
)的动点M的轨迹为Γ. (Ⅰ)求轨迹Γ的方程;
(Ⅱ)已知直线l:y=kx+m与轨迹F交于不同两点A,B,点G是线段AB中点,射线OG交轨迹Γ于点Q,且 =λ
,λ∈R.
①证明:λ2m2=4k2+1;
②求△AOB的面积S(λ)的解析式,并计算S(λ)的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)设M(x,y),P(x0 , y0),则D(x0 , 0),且x02+y02=4,① ∵ =
(
+
),
∴x0=x,y0=2y,②
②代入①可得x2+4y2=4;
(Ⅱ)①证明:设A(x1 , y1),B(x2 , y2),
由直线代入椭圆方程,消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
∴x1+x2= ,x1x2=
(1)
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m= ,
又由中点坐标公式,得G( ,
),
将Q( ,
)代入椭圆方程,化简,得λ2m2=1+4k2 , (2).
②解:由(1),(2)得m≠0,λ>1且|x1﹣x2|= ,(3)
结合(2)、(3),得S△AOB= ,λ∈(1,+∞),
令 =t∈(0,+∞),则S=
≤
≤1(当且仅当t=1即λ=
时取等号),
∴λ= 时,S取得最大值1
【解析】(Ⅰ)利用代入法求椭圆方程;(Ⅱ)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),由直线代入椭圆方程,消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式,结合已知条件能证明结论.②由已知条件得m≠0,|x1﹣x2|= ,由此能求出△AOB的面积,再利用基本不等式求最大值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求证:M为PB的中点;
(II)求二面角B-PD-A的大小;
(III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
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【题目】已知函数f(x)= x3+ax2﹣bx(a,b∈R),若y=f(x)图象上的点(1,﹣
)处的切线斜率为﹣4,
(1)求f(x)的表达式.
(2)求y=f(x)在区间[﹣3,6]上的最值.
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【题目】定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0,
(1)求f(1)和f(﹣1)的值;
(2)试判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(3)若x≥0时f(x)为增函数,求满足不等式f(x+1)﹣f(2﹣x)≤0的x取值集合.
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【题目】已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分别是线段AB、BC的中点.
(Ⅰ)证明:PF⊥FD;
(Ⅱ)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD;
(Ⅲ)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角A﹣PD﹣F的余弦值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数).以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点
的极坐标方程为
.
(1)求点的直角坐标,并求曲线
的普通方程;
(2)设直线与曲线
的两个交点为
,求
的值.
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【题目】已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=﹣2.
(1)判断f(x)的奇偶性及单调性并证明你的结论;
(2)若对任意x∈R,不等式f(ax2)﹣2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围.
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【题目】袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球,今从袋子里随机取球.
(Ⅰ)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出2个红球1个黑球的概率;
(Ⅱ)若无放回地取3次,每次取一个球,若取出每只红球得2分,取出每只黑球得1分,求得分的分布列和数学期望.
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【题目】学校将高二年级某班级50位同学期中考试数学成绩(均为整数)分为7组进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.观察图中信息,回答下列问题.
(Ⅰ)试估计该班级同学数学成绩的平均分;
(Ⅱ)先准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出2人参加某活动,求选出的两人在同一组的概率.
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