Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求证为定值．

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】

(1)分析题意可得b＝1，再根据离心率的表达式和a,b,c之间的系数关系可求得标准方程

(2)将直线与椭圆方程进行联立，利用韦达定理，再结合题意即可

(1)设椭圆的标准方程为为，

由题b＝1，.即,

∴椭圆C的方程为.

(2)方法一：设A、B、M点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．易知F点的坐标为(2,0)．，

∴(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，，

将A点坐代入到椭圆方程中，得，

去分母整理得.同理，由，

可得，∴λ1，λ2是方程的两个根，∴λ1＋λ2＝－10.故λ1＋λ2为定值．

方法二:设A、B、M点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．又易知F点的坐标为(2,0)．显然直线存在斜率，设直线的斜率为k，则直线的方程是y＝k(x－2)．将直线的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0. .

又,将各点坐标代入得

,

,

故λ1＋λ2为定值．