Question

已知函数f(x)=sin(2x-

π

4

)，有如下四个命题：
①点(

5

8

π，0)是函数f（x）的一个中心对称点；
②若函数f（x）表示某简谐运动，则该简谐运动的初相为-

π

4

；
③若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=-1，则x₁-x₂=kπ（k∈Z且k≠0）；
④若f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后变为偶函数，则φ的最小值是

π

8

；
其中正确命题的序号是

①②③④

．

Answer 1

分析：根据正弦函数图象的对称中心，求得点(

5

8

π，0)是函数f（x）的一个中心对称点，判断①的正确性；
根据正弦函数的图象，得到②正确；
根据函数y=Asin（ωx+φ）的最小正周期判定③是否正确；
根据正弦函数的图象变换，求得故2φ+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈N），判断④是否正确．

解答：解：①当x=

5π

8

时，sin(2×

5π

8

-

π

4

)=0，故点(

5

8

π，0)是函数f(x)=sin(2x-

π

4

)的一个中心对称点，故①正确；
②若函数f(x)=sin(2x-

π

4

)表示某简谐运动，则该简谐运动的初相为-

π

4

，故②正确；
③∵函数的最小正周期T=

2π

2

=π，
∴若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=-1，则x₁-x₂=kπ（k∈Z且k≠0），故③正确；
④若f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后变为偶函数，
则y=sin[2(x-φ)-

π

4

]=sin(2x-2φ-

π

4

）为偶函数，
故2φ+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈N），
则2φ=kπ+

π

4

，故φ=

kπ

2

+

π

8

（k∈N），
故φ的最小值是

π

8

，故④正确．
故答案为：①②③④

点评：本题借助考查命题的真假判定，考查y=Asin（ωx+φ）函数的性质．