【题目】已知函数
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)当时,设
,求证:曲线
存在两条斜率为
且不重合的切线.
【答案】(Ⅰ)极小值;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】分析:(Ⅰ)对a分类讨论,利用导数求函数的极值. (Ⅱ)先把问题转化为曲线在点
,
处的切线不重合,再利用反证法证明.
详解:(Ⅰ)
,
令,得
.
①当时,
与
符号相同,
当变化时,
,
的变化情况如下表:
↘ | 极小 | ↗ |
②当时,
与
符号相反,
当变化时,
,
的变化情况如下表:
↘ | 极小 | ↗ |
综上,在
处取得极小值
.
(Ⅱ)
,
故
.
注意到,
,
,
所以,,
,使得
.
因此,曲线在点
,
处的切线斜率均为
.
下面,只需证明曲线在点
,
处的切线不重合.
曲线在点
(
)处的切线方程为
,即
.假设曲线
在点
(
)处的切线重合,则
.
令,则
,且
.
由(Ⅰ)知,当时,
,故
.
所以,在区间
上单调递减,于是有
矛盾.
因此,曲线在点
(
)处的切线不重合.
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【题目】采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号1,, ,1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8,抽到的50人中,编号落入区间的人做问卷A,编号落入区间
的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
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【题目】为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某城区对辖区内,
,
三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位,其考评分数如下:
类行业:85,82,77,78,83,87;
类行业:76,67,80,85,79,81;
类行业:87,89,76,86,75,84,90,82.
(Ⅰ)计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数;
(Ⅱ)若从抽取的类行业这6个单位中,再随机选取3个单位进行某项调查,求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率.
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【题目】一种作图工具如图1所示.是滑槽
的中点,短杆
可绕
转动,长杆
通过
处铰链与
连接,
上的栓子
可沿滑槽AB滑动,且
,
.当栓子
在滑槽AB内作往复运动时,带动
绕
转动一周(
不动时,
也不动),
处的笔尖画出的曲线记为
.以
为原点,
所在的直线为
轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设动直线与两定直线
和
分别交于
两点.若直线
总与曲线
有且只有一个公共点,试探究:
的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
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【题目】下面几种推理是类比推理的( )
A. 两条直线平行,同旁内角互补,如果和
是两条平行直线的同旁内角,则
B. 由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质
C. 某校高二级有20个班,1班有51位团员,2班有53位团员,3班有52位团员,由此可以推测各班都超过50位团员.
D. 一切偶数都能被2整除,是偶数,所以
能被2整除.
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【题目】四色猜想是世界三大数学猜想之一,1976年数学家阿佩尔与哈肯证明,称为四色定理.其内容是:“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总可以用,
,
,
四个数字之一标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图,网格纸上小正方形的边长为
,粗实线围城的各区域上分别标有数字
,
,
,
的四色地图符合四色定理,区域
和区域
标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点,则恰好取在标记为
的区域的概率所有可能值中,最大的是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0.
(1)若p是真命题,求对应x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.
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【题目】已知数列是公差为正数的等差数列,数列
为等比数列,且
,
,
.
(1)求数列、
的通项公式;
(2)设数列是由所有
的项,且
的项组成的数列,且原项数先后顺序保持不变,求数列
的前2019项的和
;
(3)对任意给定的是否存在
使
成等差数列?若存在,用
分别表示
和
(只要写出一组即可);若不存在,请说明理由.
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【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值.由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.
(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的概率;
(2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为X,求X的分布列.
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