Question

【题目】已知数列是公差为正数的等差数列,数列为等比数列,且，，.

(1)求数列、的通项公式；

(2)设数列是由所有的项,且的项组成的数列,且原项数先后顺序保持不变,求数列的前2019项的和；

(3)对任意给定的是否存在使成等差数列？若存在,用分别表示和(只要写出一组即可)；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）4105449；（3）当时，不存在，

当时，存在，满足要求

【解析】

（1）设出公差，根据等差数列和等比数列的通项公式列方程求解即可；

（2）找出数列的前2019项中有多少项在数列中，在求和的过程中减去即可；

（3）分类尝试，当时，发现不存在；当时，设，利用等差数列的通项公式，将均用表示出来，即可找出关系，得出结果．

解：（1）设数列的公差为，

则，

即，

,

解得或（舍去），

所以，即，

又，

所以等比数列的公比，

所以，即；

（2），故数列由数列的前2019+8项中减去数列的前8项构成，

设数列的前项和为，数列 的前项和为

；

（3）当时，若存在使成等差数列，

则，

因为，所以，与数列为正项数列相矛盾，

因此，当不存在；

当时，设，

则，所以，

令，得。

此时，

所以，

所以，

综上所述，当时，不存在，

当时，存在，满足要求．