【题目】如图,三棱锥D-ABC中,,E,F分别为DB,AB的中点,且
.
(1)求证:平面平面ABC;
(2)求二面角D-CE-F的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】
(1)取的中点
,可得
,
,从而得到
平面
,得到
,由
,
,得到
,从而得到
平面
,所以平面
平面
;(2)以
为原点,建立空间直角坐标系,利用余弦定理和勾股定理,得到
,
,得到
的法向量
,平面
的法向量
,根据向量夹角的余弦公式,得到二面角
的余弦值
(1)如图取的中点
,连接
,
,
因为,所以
,
因为,所以
,
又因为,所以
平面
,
平面
所以.
因为,
分别为
,
的中点,所以
.
因为,即
,
则.
又因为,
所以平面
,
又因为平面DAB,
所以平面平面
.
(2)因为平面
,则以
为坐标原点,
过点与
垂直的直线为
轴,
为
轴,AD为
轴,
建立如下图所示的空间直角坐标系.
因为,
在中,
,
所以.
在中,
,
所以点,
,
.
设平面的法向量为
.
所以,即
,
可取.
设平面的法向量为
.
所以,即
,
可取,
则
因为二面角为钝二面角,所以二面角
的余弦值为
.
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【题目】已知数列是公差为正数的等差数列,数列
为等比数列,且
,
,
.
(1)求数列、
的通项公式;
(2)设数列是由所有
的项,且
的项组成的数列,且原项数先后顺序保持不变,求数列
的前2019项的和
;
(3)对任意给定的是否存在
使
成等差数列?若存在,用
分别表示
和
(只要写出一组即可);若不存在,请说明理由.
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【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值.由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.
(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的概率;
(2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为X,求X的分布列.
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【题目】图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】新高考3+3最大的特点就是取消文理科,除语文、数学、外语之外,从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全理(选择物理、化学、生物)的选择是否与性别有关,觉得从某学校高一年级的650名学生中随机抽取男生,女生各25人进行模拟选科.经统计,选择全理的人数比不选全理的人数多10人.
(1)请完成下面的2×2列联表;
选择全理 | 不选择全理 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | |||
合计 |
(2)估计有多大把握认为选择全理与性别有关,并说明理由;
(3)现从这50名学生中已经选取了男生3名,女生2名进行座谈,从中抽取2名代表作问卷调查,求至少抽到一名女生的概率.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:,其中
.
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【题目】下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费y(万元)的几组对照数据:
x(年) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y(万元) | 1 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)若知道y对x呈线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(2)已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元,试根据(1)求出的线性回归方程,预测该型号设备技术改造后,使用10年的维修费用能否比技术改造前降低?参考公式:,
.
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【题目】已知函数的定义域为
,若满足
,则称函数
为“
型函数”.
(1)判断函数和
是否为“
型函数”,并说明理由;
(2)设函数,记
为函数
的导函数.
①若函数的最小值为1,求
的值;
②若函数为“
型函数”,求
的取值范围.
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【题目】某中学组织高二年级开展对某品牌西瓜市场调研活动.两名同学经过了解得知此品牌西瓜,不仅便宜而且口味还不错,并且每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式:,其中
,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出此品牌西瓜11千克.若此品牌西瓜的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使该商场日销售此品牌西瓜所获得的利润最大.
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