Question

【题目】己知函数，其中.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设，，若存在，对任意的实数，恒有成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求导后讨论的正负号，即可说明导函数的正负号，即可说明单调性。

（Ⅱ）题干等价于存在，对任意的实数，恒有，记即讨论的取值，判断在的单调性，求出其最小值使成立。

解：（Ⅰ）由题，

（1）当时，恒成立，

故此时函数在上单调递增；

（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

（Ⅱ）不等式

记，，

则，

其中

由（Ⅰ）可知函数在上单调递增，在上单调递减，

（1）若，则，，

函数在区间上单调递增，

，

（2）若即时，，

函数在区间上单调递减，

，

；

（3）当时，此时且在内递减，

在区间内有唯一零点，记为，

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增

从而，其中

，

令，，则

所以，

综上，当时，取到最大值为.