【题目】已知函数,其中.
(1)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)函数的解析式为;(2)当时, 在, 内是增函数;当时在, 内是增函数,在, 内是减函数;(3).
【解析】试题(1)先求出导函数,进而根据曲线在点处的切线方程为得到即,从中可求解出的值,进而可确定函数的解析式;(2)针对导函数,对分、两类,由导数大于零求出函数的单调增区间,由导数小于零可求出函数的单调递减区间;(3)要使对于任意的,不等式在上恒成立,只须,由(2)的讨论,确定函数,进而得到不等式即,该不等式组对任意的成立,从中可求得.
(1),由导数的几何意义得,于是
由切点在直线上可得,解得
所以函数的解析式为3分
(2)因为
当时,显然,这时在, 内是增函数
当时,令,解得
当变化时, , 的变化情况如下表:
↗ | 极大值 | ↘ | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以在, 内是增函数,在, 内是减函数.......7分
(3)由(2)知, 在上的最大值为与中的较大者,对于任意的,不等式在上恒成立,当且仅当即对任意的成立,从而得,所以满足条件的的取值范围是..................13分.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线,过点的直线(为参数)与曲线相交于点,两点.
(1)求曲线的平面直角坐标系方程和直线的普通方程;
(2)求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费y(万元)的几组对照数据:
x(年) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y(万元) | 1 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)若知道y对x呈线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(2)已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元,试根据(1)求出的线性回归方程,预测该型号设备技术改造后,使用10年的维修费用能否比技术改造前降低?参考公式:,.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数的定义域为,若满足,则称函数为“型函数”.
(1)判断函数和是否为“型函数”,并说明理由;
(2)设函数,记为函数的导函数.
①若函数的最小值为1,求的值;
②若函数为“型函数”,求的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年4月,甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考,现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析,数据统计显示,考生的数学成绩服从正态分布,从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷,并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图:
(1)试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数;
(2)若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀,根据茎叶图中的数据,判断是否有的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关?
(3)从所有参加此次联考的学生中(人数很多)任意抽取3人,记数学成绩在134分以上的人数为,求的数学期望.
附:若随机变量服从正态分布,则,,.
参考公式与临界值表:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知四面体的棱长满足,,现将四面体放入一个主视图为等边三角形的圆锥中,使得四面体可以在圆锥中任意转动,则圆锥侧面积的最小值为___________.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com