Question

【题目】已知函数，其中.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）函数的解析式为；（2）当时， 在， 内是增函数；当时在， 内是增函数，在， 内是减函数；（3）.

【解析】试题（1）先求出导函数，进而根据曲线在点处的切线方程为得到即，从中可求解出的值，进而可确定函数的解析式；（2）针对导函数，对分、两类，由导数大于零求出函数的单调增区间，由导数小于零可求出函数的单调递减区间；（3）要使对于任意的，不等式在上恒成立，只须，由（2）的讨论，确定函数，进而得到不等式即，该不等式组对任意的成立，从中可求得.

（1），由导数的几何意义得，于是

由切点在直线上可得，解得

所以函数的解析式为3分

（2）因为

当时，显然，这时在， 内是增函数

当时，令，解得

当变化时， ， 的变化情况如下表：

	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以在， 内是增函数，在， 内是减函数.......7分

（3）由（2）知， 在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当即对任意的成立，从而得，所以满足条件的的取值范围是．.................13分.