Question

【题目】已知四面体的棱长满足，，现将四面体放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

若满足题意，则四面体的外接球应该内切于圆锥即可.先求得四面体外接球的半径，再根据该球内切于圆锥，即可求得圆锥侧面积的最小值.

若满足题意，则四面体的外接球应该内切于圆锥即可.

为逻辑清晰，我们将问题主要分为两步.

第一步：求得四面体外接球半径.

记外心为，过作平面的垂线，

记外接球球心为，连接.

则外接球半径.下面求解.

在中，由余弦定理可得，

则由同角三角函数关系可得.

故外接圆半径.

将的图形单独抽取出来，取中点为.如上面由图所示：

容易知：.

在中，因为，，

故可得，

.

故可得.

又因为，

解得.

在中，容易得.

故可得.

在中，.

故可得四面体外接球半径.

第二步：根据外接球半径和圆锥的关系，求得圆锥的母线和底面圆半径.

若满足题意，则该外接球应该内切于圆锥，

作出轴截面的平面图，其中点为的中点，如下所示：

该截面图中.

由题可知为等边三角形，故可得；

在中，，解得.

故可得圆锥的底面圆半径为.母线长.

故可得圆锥的侧面积为.

故答案为：.