【题目】已知直线上有一动点
,过点
作直线
垂直于
轴,动点
在
上,且满足
(
为坐标原点),记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)已知定点,
,
为曲线
上一点,直线
交曲线
于另一点
,且点
在线段
上,直线
交曲线
于另一点
,求
的内切圆半径
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1 )设点的坐标为
,结合题意得出点
的坐标,再利用
可得出点
的轨迹方程;(2)设
,设直线
的方程为
,将该直线方程与曲线
的方程联立,结合韦达定理进行计算得出点
,和点
的横坐标相等,于是得出
轴,根据几何性质得出
的内切圆圆心
在
轴上,且该点与切点的连线与
垂直,计算出
的面积和周长,利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式,通过化简得到
关于
的函数表达式,并换元
,将函数关系式转化为
关于
的函数关系式,然后利用单调性可求出
的取值范围.
(1)设点,则
,
所以,
.
因为,
所以,即
.
(2)设,
,
,直线
与
轴交点为
,直线
与内切圆的切点为
.
设直线的方程为
,则联立方程组
得
,
所以且
,所以
,
所以直线的方程为
,
与方程联立得
,
化简得,解得
或
.
因为,
所以轴,
设的内切圆圆心为
,则点
在
轴上且
.
,且
的周长
,
,
,
令,则
,
所以在区间
上单调递增,则
,
即的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行调查,通过抽样,获得某年100为居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图的的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由.
(3)估计居民月用水量的中位数.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给图中A,B,C,D,E,F六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择,则共有___种不同的染色方案.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知甲箱中装有3个红球,2个黑球,乙箱中装有2个红球,3个黑球,这些球除颜色外完全相同,某商场举行有奖促销活动,规定顾客购物1000元以上,可以参与抽奖一次,设奖规则如下:每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球,共4个球,若摸出4个球都是红球,则获得一等奖,奖金300元;摸出的球中有3个红球,则获得二等奖,奖金200元;摸出的球中有2个红球,则获得三等奖,奖金100元;其他情况不获奖,每次摸球结束后将球放回原箱中.
(1)求在1次摸奖中,获得二等奖的概率;
(2)若3人各参与摸奖1次,求获奖人数X的数学期望;
(3)若商场同时还举行打9折促销活动,顾客只能在两项促销活动中任选一项参与.假若你购买了价值1200元的商品,那么你选择参与哪一项活动对你有利?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设点为圆
上的动点,点
在
轴上的投影为
,动点
满足
,动点
的轨迹为
.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)设的左顶点为
,若直线
与曲线
交于两点
,
(
,
不是左右顶点),且满足
,求证:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有报道称,据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示:A、B、O、AB血型与COVID﹣19易感性存在关联,具体调查数据统计如图:
根据以上调查数据,则下列说法错误的是( )
A.与非O型血相比,O型血人群对COVID﹣19相对不易感,风险较低
B.与非A型血相比,A型血人群对COVID﹣19相对易感,风险较高
C.与O型血相比,B型、AB型血人群对COVID﹣19的易感性要高
D.与A型血相比,非A型血人群对COVID﹣19都不易感,没有风险
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