【题目】已知函数(其中
是实数).
(1)求的单调区间;
(2)若设,且
有两个极值点
,
(
),求
取值范围.(其中
为自然对数的底数).
【答案】(1)当时,
的单调递增区间为
,无单调递减区间,当
时,
的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)求出的定义域为
,
,由此利用导数性质和分类讨论思想能求出
的单调区间;(2)推导出
,令
,则
恒成立,由此能求出
的取值范围.
试题解析:(1)的定义域为
,
,
令,
,对称轴
,
,
(1)当,即
时,
于是,函数的单调递增区间为
,无单调递减区间.
(2)当,即
或
时,①若
,则
恒成立
于是,的单调递增区间为
,无减区间.②若
令,得
,
,
当时,
,当
时,
.
于是,的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
.综上所述:
当时,
的单调递增区间为
,无单调递减区间.
当时,
的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
.
(2)由(1)知,若有两个极值点,则
,且
,
,
又,
,
,
,又
,解得,
于是,
令(
),则
恒成立,
在
单调递减,
,即
,故
的取值范围为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动,有Ⅳ人参加,现将所有参加者按年龄情况分为,
,
,
,
,
,
等七组,其频率分布直方图如图所示,已知
这组的参加者是6人.
(1)已知和
这两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率;
(2)组织者从这组的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为
,求
的分布列和均值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线上有一动点
,过点
作直线
垂直于
轴,动点
在
上,且满足
(
为坐标原点),记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)已知定点,
,
为曲线
上一点,直线
交曲线
于另一点
,且点
在线段
上,直线
交曲线
于另一点
,求
的内切圆半径
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,设点,定义
,其中
为坐标原点,对于下列结论:
符合
的点
的轨迹围成的图形面积为8;
设点
是直线:
上任意一点,则
;
设点
是直线:
上任意一点,则使得“
最小的点有无数个”的充要条件是
;
设点
是椭圆
上任意一点,则
.
其中正确的结论序号为
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多,在“人生自有诗意”的主题下,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场,且《蜀道难》排在《游子吟》的前面,《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有__________种.(用数字作答)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】高一年级某个班分成7个小组,利用假期参加社会公益服务活动每个小组必须全员参加
,参加活动的次数记录如下:
组别 | |||||||
参加活动次数 | 3 | 2 | 4 | 3 | 3 | 4 | 2 |
Ⅰ
求该班的7个小组参加社会公益服务活动数的中位数及与平均数v;
Ⅱ
从这7个小组中随机选出2个小组在全校进行活动汇报,求“选出的2个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率.
Ⅲ
至
小组每组有4名同学,
小组有5名同学,记“该班学参加社会公益服务活动的平均次数”为
,写出
与v的大小关系
结论不要求证明
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4 坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系中,直线
的参数方程
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程以及曲线
的参数方程;
(2)当时,
为曲线
上动点,求点
到直线
距离的最大值.
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