【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个极值点,且恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)由题意知,求得函数的导数,令,则,
分类讨论即可求解函数的单调区间;
(2)由(1)得,,化简,令,则,令,利用导数求得函数的单调性与最值,进而可求解实数的范围。
(1)由题意知,函数的定义域是,
,令,则,
①当时,,恒成立,函数在上单调递增;
②当时,,方程有两个不同的实根,分别设为,不妨令,
则,,此时,
因为当时,,当时,
,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
综上,当时,在上单调递增;当时在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
(2)由(1)得在上单调递减,,,
则 ,
令,则,,
令,则,
故在上单调递减且,
故,即,
而,其中,
令,,所以在上恒成立,
故在上单调递减,从而,
故的取值范围是.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
平面直角坐标系中,射线:,曲线的参数方程为(为参数),曲线的方程为;以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出射线的极坐标方程以及曲线的普通方程;
(Ⅱ)已知射线与交于,,与交于,,求的值.
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【题目】南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为、,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、,则命题:“、相等”是命题“、总相等”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行调查,通过抽样,获得某年100为居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图的的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由.
(3)估计居民月用水量的中位数.
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