Question

【题目】已知三棱柱中，，，，．

求证：面面；

若，在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

由，可得四边形为菱形，则，又，利用线面垂直的判定可得平面，得到，结合，即可证明平面，从而可证明面面；

以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设在线段AC上存在一点P，满足，使得二面角的余弦值为，利用二面角的余弦值为，可求得的值，从而得到答案。

证明：如图，，四边形为菱形，

连接，则，又，且，

平面，则，

又，即，平面，

而平面，面面；

解：以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，

0，，2，，0，，0,

设在线段上存在一点，满足，使得二面角的余弦值为．

则．

0，，，，，．

设平面的一个法向量为，

由，取，得；

平面的一个法向量为．

由，

解得：，或，

因为，所以.

故在线段上存在一点，满足，使二面角的余弦值为.