Question

【题目】已知函数（是自然对数的底数），.

（1）若，求的极值；

（2）对任意都有成立，求实数的取值范围.

（3）对任意证明：；

Answer 1

【答案】（1）极小值1，无极大值；（2）（3）见解析

【解析】

（1）设，对其求导令，从而得出其导函数取得正负的区间，得出函数的单调性，从而求得的极值；

（2）令，求导，令解得讨论实数的范围和分别验证不等式是否恒成立，可得出的取值范围.

（3）令，求导得时,单调递增；；有，代换可得证.

（1）设，令，

所以当，，当，，

所以当时，单调递减，当时，单调递增，

从而当时，取得的极小值，无极大值；

（2），，令解得

（i）当时，，所以对所有，；在上是增函数.

所以有，即当时，对于所有，都有.

（ii）当时，对于，所以在上是减函数，

从而对于有，即，所以当时，不是对所有的都有成立.

综上，的取值范围是；

（3）证明：令，，当，，

所以当时,单调递增；；

所以，，

，

所以.