Question

【题目】已如长方形 中， ，M为的中点，将 沿 折起，使得平面 平面，

（1）求证： ；

（2）若点 是线段 上的中点，求三棱锥与四棱锥的体积的比值 .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）计算AM，BM，根据勾股定理的逆定理得出AM⊥BM，由面面垂直的性质得出BM⊥平面DAM，从而BM⊥AD；

（2）过D作DG⊥AM，则DG⊥平面ABCM，再利用中位线分别计算三棱锥E﹣ABM与四棱锥D﹣ABCM的高与底面积的比，从而得出体积比．

（1）因为长方形中，，为的中点，

所以，

所以，

因为平面 平面，

平面 平面，平面 ，

所以 平面 ，

因为 平面，

所以

（2）过作 于，连，取中点，连结，因为平面 平面 ，平面 平面，

所以 平面，

因为为的中点，

所以 ，

所以平面 ，

由已知可得， ，

所以三棱锥 与四棱锥 的体积的比值为