Question

函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f'（x）=0的两根为x₁，x₂，则|x₁-x₂|的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：先求出f′（x）=3ax²+2bx+c，可得 == ++，由f′0）•f′（1）＞0，
解得-2＜＜-1，利用二次函数的性质求出的范围，即可求得|x₁-x₂|的取值范围．
解答：由题意得：f′（x）=3ax²+2bx+c，∵x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，
∴x₁+x₂=-，x₁•x₂=．∴|x₁-x₂|² =-4x₁x₂ ，
∴=-4x₁•x₂ =．
∵a+b+c=0，∴c=-a-b，
∴== ++．
∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=-（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，
即2a²+3ab+b²＜0，∵a≠0，两边同除以a²得：+3 +2＜0，解得-2＜＜-1．
由二次函数的性质可得，当=-时，有最小值为 ，
当趋于-1时， 趋于 ，故 ∈，
故|x₁-x₂|∈，
故选A．
点评：本题考查根与系数的关系的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．