Question

19．已知关于x的不等式$\frac{ax-5}{x-{a}^{2}}$＞0的解集为M，
（1）当a=2，求集合M；
（2）若1∈M且4∉M，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，原不等式可化为$\frac{2x-5}{x-4}$＞0，由穿根法可解；
（2）由题意可得$\frac{a-5}{1-{a}^{2}}$＞0且$\frac{4a-5}{4-{a}^{2}}$≤0，由穿根法解关于a的不等式组可得．

解答 解：（1）当a=2时，原不等式可化为$\frac{2x-5}{x-4}$＞0，
由穿根法可得解集M={x|x＜$\frac{5}{2}$或x＞4}；
（2）∵1∈M且4∉M，∴$\frac{a-5}{1-{a}^{2}}$＞0且$\frac{4a-5}{4-{a}^{2}}$≤0，
由穿根法解$\frac{a-5}{1-{a}^{2}}$＞0可得a＜-1或1＜a＜5，
同理解$\frac{4a-5}{4-{a}^{2}}$≤0可得-2＜a≤$\frac{5}{4}$或a＞2，
∴a的取值范围为：-2＜a＜-1或1＜a≤$\frac{5}{4}$或2＜a＜5

点评 本题考查分式不等式的解法，涉及穿根法和集合的运算，属中档题．