Question

已知关于x的方程2a^2x-2-9a^x-1+4=0有一根是2．
（1）求实数a的值；（2）若0＜a＜1，求不等式2a^2x-2-9a^x-1+4＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）由x=2是原方程的解，故把x=2代入方程中得到关于a的一元二次方程，求出方程的解得到a的值；
（2）由a的范围得出满足题意的a的值，代入所求的不等式中把(

1

2

)x-1看做未知数，求出不等式的解集，然后根据指数函数为减函数得到关于x的双向不等式组，求出双向不等式的解集得到x的范围，即为原不等式的解集．

解答：解：（1）用x=2代入原方程得2a²-9a+4=0，（3分）
∴a=4或a=

1

2

；（5分）
（2）∵0＜a＜1，故a=

1

2

，（7分）
则原不等式化为：2(

1

2

)2x-2-9(

1

2

)x-1+4＜0，
即[2(

1

2

)x-1-1][(

1

2

)x-1-4]＜0，
则

1

2

＜(

1

2

)x-1＜4=(

1

2

)-2，（9分）
由

1

2

＜1，得到指数函数y=(

1

2

)x为减函数，
∴-2＜x-1＜1，
解得：-1＜x＜2，
则原不等式的解集为{x|-1＜x＜2}(a=

1

2

时)．（12分）

点评：此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有一元二次方程的解法，一元二次不等式的解法，以及指数函数的单调性，利用了转化的思想，是高考中常考的题型．