Question

【题目】如图，为矩形，且平面平面，，，，，点是线段上的一点，且．

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2).

【解析】

（1）利用勾股定理可证明，再由已知的面面垂直得到平面，从而得到，进而得到平面，最后得到要证明的线线垂直．

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求二面角的余弦值.

（1）证明：由题意知四边形是矩形，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，，，．

，．

平面平面，平面平面，，

平面，，

，平面．

平面，．

（2）解：由（1）知，，两两垂直，

以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，.

设平面法向量为，则，

取，则，，故为平面的一个法向量，

易知平面的一个法向量为.

设二面角的平面角为，由题中条件可知，

则，

二面角的余弦值为.