Question

【题目】点为平面上一点，有如下三个结论：

①若，则点为的______；

②若，则点为的______；

③若，则点为的______.

回答以下两个小问：

（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上.

A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心

（2）请你证明结论②.

Answer 1

【答案】(1)①重心;②内心;③外心. (2)证明见解析.

【解析】

(1)对①,化为分析即可.

对②,通过运算证明即可证明点在的角平分线上,同理可证点在的角平分线上即可.

对③,先证明点为平面上一点,则满足,不全为0的点是唯一的,再论证当为外心时满足即可.

(1)对①,因为,故,取中点为,

则,故在边的中线上.同理在边的中线上,故为的重心.

对②,同解析(2).

对③,先证明点为平面上一点,则满足,不全为0的点是唯一的.

证明：假设还有一点满足,则有,即

,故,此时重合.

所以点是唯一的.

再证若为外心时, .

证明：因为

所以设的外接圆半径为则

即.

综上所述, 为外心.

(2)对,由正弦定理有.

故,故.

即

故,故在 的角平分线上,同理可证点在 的角平分线上.故为的内心.