Question

已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为F₁（

3

，0），且该焦点于长轴上较近的端点距离为2-

3

．
（1）示此椭圆的标准方程及离心率；
（2）设F₂是椭圆另一个焦点，若P是该椭圆上一个动点，求

PF1

•

PF2

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设出椭圆的标准方程，进而根据焦点坐标确定c，根据焦点于长轴上较近的端点距离确定a，进而根据a，b和c的关系确定b，椭圆方程可得．
（2）设出点P的坐标，进而可表示出

PF 1

•

PF 2

，进而根据x的范围确定

PF 1

•

PF 2

的范围

解答：解：（1）设所求的椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则

c= 3 3 a-c=2-  3 a2=b2+c2

解得a=2，b=1，c=

3

故所求椭圆的方程为

x2

4

+y2=1，离心率e=

c

a

=

3

2

（2）由（1）知F₁（-

3

，0），设P（x，y），
则

PF 1

•

PF 2

=（-

3

-x，-y）•（

3

-x，-y）=x²+y²-3=

1

4

（3x²-8）
∵x∈[-2，2]，∴0≤x²≤4，
故

PF 1

•

PF 2

∈[-2，1]

点评：本题主要考查了椭圆的应用．考查了用待定系数法求椭圆方程及平面向量的基本计算．