Question

已知函数f（x）=x²-bx+c，且f（0）=3，f（1）=0．求：
（1）函数f（x）的表达式；
（2）函数f（x）在[-1，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²-bx+c，且f（0）=3，f（1）=0得出善于b，c的方程，解之即可；
（2）由题意函数为二次函数利用导数法求函数值域，因为定义域为闭区间，所以只要求二次函数在定义域中的极值与区间端点值，这几个函数值的大小即可求得函数的值域．

解答：解：（1）由题意得

c=3 1-b+c=0

解得 a=4，c=3，因此f（x）的解析表达式为 f（x）=x²-4x+3；
（2）因为函数f（x）=x²-4x+3的定义域是[-1，3]，由函数f（x）求导得：f^′（x）=2x-4，令2x-4=0得：x=2，
当x∈[-1，2]，时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
当x∈[2，3]，时，f^′（x）＞0，函数在此区间上单调递增；
所以x=2是函数在定义域上的极小值，也应为最小值，
最大值只能在区间的端点处取得，
而f（2）=-1，f（-1）=8，f（3）=0，
∴最大值为f（-1）=8，
所以函数在定义域上的值域为：[-1，8]．

点评：此题考查了利用函数的导函数求函数在闭区间上的值域，实质是比较函数在该定义域下的极值与区间端点值等若干函数值的大小．